Rijoperaties

Rijoperaties zijn bewerkingen op de rijen van een matrix die vooral worden gebruikt bij het oplossen van lineaire systemen en bij het vinden van vormen zoals rij-echelonvorm. Ze maken deel uit van een proces dat de matrix eenvoudig te analyseren maakt, zonder de oplossingsruimte van het bijbehorende systeem te veranderen.

De drie basale rijoperaties zijn: 1) het wisselen van twee rijen, 2) het vermenigvuldigen van een rij met een niet-nul scalair, en 3) het optellen van een veelvoud van een rij bij een andere rij. In een gekoppelde augmented matrix [A|b] worden deze operaties toegepast op beide zijden, zodat het systeem behoudt welke oplossingen mogelijk zijn.

Eigenschappen: elke rijoperatie komt overeen met linker-multiplicatie door een inverteerbare matrix, wat betekent dat A en de gewijzigde matrix EA rij-equivalent zijn. Daardoor behouden rijoperaties de oplossingset van het lineaire systeem Ax = b en de rang van de matrix (het aantal onafhankelijke rijen). Met opeenvolgende rijoperaties kan men een matrix transformeren naar rij-echelonvorm of gereduceerde rij-echelonvorm, wat vaak leidt tot eenvoudige oplossingen of inzicht in de inconsistenties van het systeem. Rijoperaties worden veel gebruikt in Gauss-eliminatie en verwante algoritmes.

Naast ingezette voordelen hebben rijoperaties ook determinanten-gerelateerde effecten: het ruilen van rijen verandert de handtekening van de determinant (negatief), het vermenigvuldigen van een rij met k vermenigvuldigt de determinant met k, en het optellen van meerdere van een rij bij een andere rij verandert de determinant niet. Een voorbeeld: voor een 2x2-matrix [ [1, 2], [3, 4] ] kan men r2 <- r2 - 3r1 uitvoeren, wat resulteert in [ [1, 2], [0, -2] ].