Reële

Reële getallen, vaak aangeduid met het symbool R, vormen in de wiskunde de verzameling getallen die de rationale getallen Q bevat en die samen een volledig geordend veld vormen. Ze modelleren meetbare en continue grootheden op een getallenlijn en vormen de basis voor analyse en calculus.

Constructie en eigenschappen: De reële getallen kunnen op verschillende manieren worden geconstrueerd, bijvoorbeeld via Dedekind-snedes van rationale getallen of via Cauchy-reeksen. Elk reëel getal heeft een decimale voorstelling; rationalen hebben een eindige of periodieke expansie, irrationale getallen niet. Ze vormen een volledig geordend veld onder de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging, en voldoen aan het volledigheidsaxiom: elke niet-lege verzameling die boven is gebonden, heeft een supremum. Tussen twee reële getallen ligt altijd een ander reëel getal (dichtheid).

Topologie en analyse: De reële getallen dragen een standaard metriek d(x,y)=|x−y|, waardoor R een volledig metrische ruimte is. Hiermee ontstaan begrippen als continuïteit, limieten en integratie. De Heine-Borel-stelling zegt dat gesloten en begrensde deelverzamelingen van R compact zijn. Reële getallen vormen daarmee de basisruimte voor functieleer en voor differentiaal- en integraalrekening.

Voorbeelden: Pi, e en √2 zijn voorbeelden van reële getallen. Getallen zoals 3/4 zijn rationeel en hebben een eindige of periodieke decimale voorstelling; irrationale getallen hebben geen herhalende decimale expansie.

Geschiedenis en notatie: Het concept van de reële getallen werd in de 19e eeuw sterk ontwikkeld door Cantor en Dedekind, en verder uitgewerkt door Weierstrass. De notatie R wordt wereldwijd gebruikt voor de verzameling reële getallen. In onderwijs en theorie vormen ze de kern van analyse, meetkunde en toegepaste wiskunde.