Poolcoördinaten

Poolcoördinaten, ook bekend als polaire coördinaten, beschrijven een punt in het vlak met twee getallen: de afstand r tot de oorsprong en de hoek θ tussen het lijnstuk van de oorsprong naar het punt en de positieve x-as. Een punt met cartesische coördinaten (x, y) komt overeen met (r, θ) waarbij x = r cos θ en y = r sin θ. Omgekeerd geldt r = sqrt(x^2 + y^2) en θ = atan2(y, x). Gewoonlijk geldt r ≥ 0 en θ ∈ [0, 2π). Sommige bronnen laten ook een negatief r toe, wat equivalant is aan het optrekken van θ met π.

De differentiaalgebied is dA = r dr dθ, en de Jacobiaan van de transformatie van polair naar cartesisch is r. Dit maakt poolcoördinaten vooral handig bij problemen met radiale of met cirkelvormige symmetrie, zoals integralen over ronde regio’s of bij functies die eenvoudig zijn in termen van r en θ. Een voorbeeld is de polaire vergelijking r(θ) = 2 cos θ, die een cirkel beschrijft met diameter 2 en centrum (1, 0).

Uitbreidingen naar drie dimensies bestaan onder meer uit cylindrische coördinaten (r, θ, z): x = r cos θ, y = r sin θ, z = z, met dV = r dr dθ dz. Sferische coördinaten (ρ, φ, θ) geven x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ, met dV = ρ^2 sin φ dρ dφ dθ. Verschillende conventies bestaan voor φ (hoek vanaf de positieve z-as of andersom).

Poolcoördinaten bieden een alternatief voor cartesische coördinaten wanneer radiale en azimale variaties centraal staan. Ze vereisen wel aandacht voor randgevallen zoals de oorsprong en hoeken.