Polynoomvergelijkingen

Polynoomvergelijkingen zijn vergelijkingen waarbij een polynoom P(x) wordt gelijkgesteld aan nul: P(x) = 0. Een polynoom heeft de algemene vorm P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, waarbij a_n ≠ 0 en n de graad van het polynoom aangeeft. De oplossingen van de vergelijking zijn de wortels van P, oftewel de waarden x waarvoor P(x) = 0. Volgens de basisstelling van de algebra bestaan er in het complexe getallenvlak precies n wortels, tel op met multipliciteit.

Bij polynomen met reële coefficients komen complexe wortels altijd in conjugaatparen voor; bovendien kunnen reële wortels meervoudig voorkomen. Dit heeft gevolgen voor de factorisatie: over de complexe getallen kan P(x) worden geschreven als a_n (x - r_1)(x - r_2)…(x - r_n), waarbij de r_i de wortels zijn.

Oplossingsmethoden variëren met de graad. Analytisch kan men P(x) factoriseren (bij voorkeur over de rationele of reële getallen) met technieken zoals inspectie, factoring by grouping, of de rationele wortelstelling en synthetische deling om P te deflateren. Voor kwadratische polynomen stelt men de kwadratische formule toe; voor derde en vierde graad bestaan expliciete formules, zij het vaak lang en complex. Voor hogere graden geldt, in het algemeen, dat er geen oplossing in radicalen bestaat (uitgezonderd speciale gevallen).

Numerieke methoden worden veel toegepast bij hogere graden, zoals Newton-Raphson, bisectie of algoritmes voor complexe wortels (bijv. Durand-Kerner). Deze methoden leveren benaderingen van de wortels op wanneer exacte oplossingen impraktisch of onbestaand zijn.

Toepassingen van polynoomvergelijkingen komen veel voor in wiskunde en natuurwetenschappen, waaronder het vinden van nulpunten, het berekenen van eigenwaarden, signaal- en systeemanalyses, en in numerieke karakteriseringen van functies.