N×NMatrizen

Eine n×n-Matrix (n eine positive ganze Zahl) ist ein quadratisches Array mit n Zeilen und n Spalten, dessen Einträge aij aus einem Feld F stammen. Typische Beispiele sind Matrizen über den reellen Zahlen R oder die komplexen Zahlen C. Man schreibt A ∈ F^{n×n} und spricht von einer quadratischen Matrix der Größe n.

Zu den Grundoperationen gehören die Matrizen addition, Multiplikation und Transposition. Die Multiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ: AB ist nicht immer gleich BA. Die Einheitsmatrix In dient als neutrales Element für die Multiplikation: A In = In A = A. Skalare Multiplikation ist ebenfalls definiert: αA. Die Transponierte einer Matrix A wird durch Aᵀ gebildet.

Eine wichtige Eigenschaft ist die Invertierbarkeit: Eine Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante det(A) ≠ 0; dann existiert ein eindeutiges A^{-1} mit AA^{-1} = A^{-1}A = In. Die Determinante hat geometrische Bedeutungen, beispielsweise als Volumenänderung einer zu A gehörenden linearen Abbildung.

Eigenwerte und charakteristische Polynomial: Das charakteristische Polynom p_A(λ) = det(A − λIn) bestimmt die Eigenwerte λ von A als Lösungen von p_A(λ) = 0. Ist A diagonalisierbar, existiert eine invertierbare P mit P^{-1}AP = D, wobei D diagonal ist. Bei reellen Matrizen sind symmetrische Matrizen besonders gut verhalten: Sie haben reelle Eigenwerte und können durch eine ortho­gonale Matrix diagona­lisiert werden.

Spezialformen und Anwendungen: Beispiele sind diagonale Matrizen, obere oder untere Dreiecksmatrizen, symmetrische und schiefsymmetrische Matrizen sowie die Null- und die Einheitsmatrix. N×N-Matrizen modellieren Endomorphismen von F^n, lösen lineare Gleichungssysteme, beschreiben Transformationen in Grafiken, Physik und Statistik.

Berechnungen erfolgen häufig per Gauss‑Elimination oder LU-Zerlegung, zur Bestimmung der Determinante oder der Inversen; zur allgemeinen Spezials breiten Einsatz finden auch Eigenwerte, Eigenvektoren und die singuläre Zerlegung.