Dreiecksmatrizen

Dreiecksmatrizen sind quadratische Matrizen, bei denen alle Einträge außerhalb einer Hauptdiagonalen Null sind. Eine obere Dreiecksmatrix hat alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen gleich Null (a_ij = 0 für i > j). Eine untere Dreiecksmatrix hat alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen gleich Null (a_ij = 0 für i < j). Die diagonal liegenden Elemente a_ii können beliebige Werte besitzen.

Wichtige Eigenschaften dieser Matrizen sind einfache Rechenregeln. Die Summe oder das Produkt zweier oberer Dreiecksmatrizen ist erneut obere Dreiecksmatrix. Gleiches gilt für die Addition und Multiplikation mit unteren Dreiecksmatrizen entsprechend. Eine Inverse existiert genau dann, wenn alle Diagonaleinträge ungleich Null sind; dann ist die Inverse wieder eine Dreiecksmatrix derselben Richtung. Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalwerte. Für eine obere Dreiecksmatrix entspricht das also det(A) = ∏ a_ii; analog gilt dasselbe für untere Dreiecksmatrizen.

Eigenwerte und Charakteristische Polynom. Die Eigenwerte einer triangulären Matrix stimmen mit den Diagonalwerten überein: Das charakteristische Polynom einer oberen oder unteren Dreiecksmatrix ist ∏(λ − a_ii).

Berechnung und Anwendungen. Dreiecksmatrizen erleichtern lineare Gleichungssysteme: Bei einer unteren Dreiecksmatrix lässt sich das System durch Vorwärtseinsetzen lösen, bei einer oberen Dreiecksmatrix durch Rückwärtseinsetzen. Allgemeine Matrizen lassen sich oft durch eine LU- oder PLU-Zerlegung in eine Produktform aus einer unteren und einer oberen Dreiecksmatrix zerlegen; solche Zerlegungen sind grundlegend in der numerischen linearen Algebra. Dreiecksmatrizen dienen außerdem als Bausteine in Algorithmen zur Bestimmung von Eigenwerten, zur Matrixinversion und in der Diskretisierung von Differentialgleichungen.

Varianten. Strikt dreiecksmatrizen haben zusätzlich Nulldiagonalwerte. Diagonale Matrizen sind wiederum sowohl obere als auch untere Dreiecksmatrizen.