PLUZerlegung

Die PLU-Zerlegung, auch PLU-Faktorisierung, ist eine zentrale Zerlegung in der numerischen Linearen Algebra. Sie beschreibt eine quadratische Matrix A als Produkt aus einer Permutationsmatrix P, einer unteren Dreiecksmatrix L und einer oberen Dreiecksmatrix U in der Form PA = LU. Die Zerlegung dient vor allem der effizienten Lösung linearer Gleichungssysteme, der Bestimmung von Determinanten und der Invertierung von Matrizen.

Die Bestandteile der Zerlegung haben klare Bedeutungen. P kodiert Zeilenumordnungen, die bei der Gaußschen Eliminierung vorgenommen werden, um numerisch stabile Pivotwerte zu sichern. L ist eine untere Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und enthält die Eliminationsmultiplikatoren, die beim Umformen von A verwendet werden. U ist eine obere Dreiecksmatrix, die das Ergebnis der Eliminierung darstellt. Die Konvention PA = LU wird häufig verwendet, da P spirale der Zeilenumordnungen einfällt und L und U die resultierenden Dreiecksmatrizen enthalten.

Existenz und Berechnung: Für jede invertierbare Matrix A existiert in der Regel eine PLU-Zerlegung, wenn Pivoting eingesetzt wird (z. B. partielles Pivoting). Ohne Pivoting kann eine Zerlegung scheitern, selbst wenn A invertierbar ist. In der Praxis liefert der Pivoting-Prozess eine stabile und robuste Zerlegung, die dann für Vorwärts- und Rückwärtssubstitution genutzt wird.

Anwendungen: Mit einer PLU-Zerlegung lassen sich lineare Gleichungssysteme effizient lösen, indem man zunächst Pb berechnet und dann Ly = Pb sowie anschließend Ux = y löst. Die Determinante von A ergibt sich aus det(A) = det(P) det(L) det(U) = ± det(U). Die Inverse von A kann durch aufeinanderfolgende Lösungsvorgänge mit L und U bestimmt werden. Die Komplexität der Zerlegung liegt typischerweise bei O(n^3) für eine n×n-Matrix.

Beispiel: Häufige 2×2-Beispiele demonstrieren PA = LU direkt, wobei L Einsen auf der Diagonalen hat und U obere Dreiecksmatrix bildet. Die PLU-Zerlegung ist damit ein Standardwerkzeug zur effizienten Behandlung linearer Systeme.

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