quadratisches

Quadratisches ist ein im Deutschen gebräuchlicher Adjektivstamm, der sich auf Dinge bezieht, die dem Quadrat entsprechen oder von Grad zwei sind. In der Mathematik begegnet man dem Begriff vor allem im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen, quadratischen Funktionen, quadratischen Formen und ähnlichen Strukturen.

In der Algebra bezeichnet eine quadratische Gleichung eine Gleichung zweiten Grades, typischerweise in der Form ax^2 + bx + c = 0 mit a ≠ 0. Die Lösung ergibt sich aus der Quadratischen Formel x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)]/(2a). Der Diskriminant Δ = b^2 - 4ac bestimmt die Natur der Lösungen (zwei, eine oder keine reellen Lösungen). Quadratische Funktionen haben Graphen in Form von Parabeln und werden durch y = ax^2 + bx + c beschrieben.

Eine quadratische Form ist ein homogenes Polynom zweiten Grades in mehreren Variablen, z. B. Q(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2. In der linearen Algebra wird Q durch eine symmetrische Matrix A dargestellt, sodass Q(x) = x^T A x. Quadratische Formen liefern Gleichungen, die Ellipsen, Hyperbeln oder Parabeln beschreiben, sowie Werkzeuge für Diagonalisierung und Optimierung.

Anwendungsgebiete reichen von Physik und Technik über Optimierung bis zu Statistik und Computergraphik. Quadratische Funktionen modellieren oft Bewegungen unter konstanter Beschleunigung; quadratische Formen spielen eine zentrale Rolle in der Bestimmung von Optima, Varianzanalysen und grafischen Projektionen.

Etymologie: Das Wort stammt vom lateinischen quadratus, über das Französische quadratique ins Deutsche.