Modelltheorien

Modelltheorien ist ein Teilgebiet der mathematischen Logik, das die Beziehungen zwischen formalen Sprachen, Strukturen und deren Theorien untersucht. Eine Sprache L besteht aus Symbolen für Funktionen, Relationen und Konstanten. Eine L-Struktur M interpretiert diese Symbole und liefert damit Objekte, auf die Sätze der Sprache angewendet werden können. Eine Theorie T ist eine Menge von Sätzen in L; M ist ein Modell von T, wenn alle Sätze von T in M wahr sind. Zentrales Konzept ist die Satisfaktion: Ein Satz wird in M erfüllt, wenn er in M wahr wird.

Wesentliche Begriffe sind unter anderem Modelle, elementare Äquivalenz, elementare Teilstrukturen und elementare Einbettungen. Zwei Strukturen M und N heißen elementar äquivalent, wenn sie dieselben Sätze in der jeweiligen Sprache erfüllen. Eine Teilstruktur ist dann elementar, wenn alle Sätze wahr bleiben, die sich auf diese Teilmenge beziehen.

Historisch bedeutsam sind die großen Ergebnisse der ersten-order Logik, die Modelltheorie prägen: das Vollständigkeitstheorem von Gödel, das besagt, dass semantische Wahrheit und syntaktische Beweisbarkeit übereinstimmen, sowie der Kompaktheitssatz und der Löwenheim-Skolem-Satz, der Aussagen über die Existenz von Modellen verschiedener Kardinalitäten zulässt. Diese Grundlagen ermöglichen eine systematische Untersuchung, welche Eigenschaften in Modellen „transferierbar“ sind und wie sich definierbare Mengen verhalten.

Zu den Anwendungsfeldern zählen algebraische Geometrie, Zahlentheorie und modelltheoretische Geometrie, etwa durch die Untersuchung von definierbaren Mengen, Typen und Stabilitätsgehalten (Stabilität, Einfachheit, o-mininale Strukturen). Typische Beispiele sind rationale Strukturen wie reell abgeschlossene Körper oder algebraisch geschlossene Felder, bei denen Quantoreneliminierung und Entscheidbarkeit eine zentrale Rolle spielen.

Historisch entwickelte sich das Gebiet aus Arbeiten von Skolem, Mostowski und Tarski; die moderne Modelltheorie wurde durch Fachkollegen wie Shelah entscheidend vorangetrieben und umfasst heute auch Teilgebiete wie geometrische Modelltheorie und die Klassifikationstheorie.