Einbettungen

Einbettungen bezeichnet in der Mathematik Abbildungen zwischen Räumen, die eine Struktur erhalten oder widerspiegeln. Je nach Kontext spricht man von topologischen, differenzierbaren oder linearen Einbettungen. Ziel ist häufig, Objekte in einem größeren Raum so darzustellen, dass ihre Struktur direkt sichtbar wird.

Eine topologische Einbettung ist eine injektive, stetige Abbildung f: X → Y, deren Einschränkung auf X eine Homöomorphie von X auf ihr Bild f(X) ist. Damit erhält X die Struktur des Unterraumes f(X) mit der Subraumtopologie von Y.

Eine differenzierbare (glatte) Einbettung ist eine glatte Abbildung f, die injektiv ist und deren Differential df_x an jedem Punkt x in X injektiv ist. Folglich ist X als Untermannigfaltigkeit von Y in der induzierten Struktur situiert und dim(X) ≤ dim(Y).

Eine lineare Einbettung ist eine injektive lineare Abbildung i: V → W zwischen Vektorräumen; Bild von i ist eine Unterraum von W, und V ist isomorph zu diesem Bild.

Beispiele: Die Inklusionsabbildung i: R → R^2, x ↦ (x, 0), ist eine topologische und differenzierbare Einbettung. Die Einbettung von S^1 in R^2, p → p, stellt den Kreis als Unterraum von R^2 dar.

Wichtige Ergebnisse: Das Whitney-Einbettungstheorem besagt, dass jede glatte n-Mannigfaltigkeit in R^{2n} eingebettet werden kann; stärkere Versionen betreffen Embeddings in R^{2n−1}. Anwendungen finden sich auch außerhalb der reinen Mathematik, beispielsweise in der Informatik und der Datenanalyse, wo Embeddings Objekte in Vektorräume überführen, um Ähnlichkeiten zu messen.