Einbettung

Einbettung (von einbetten) bezeichnet allgemein den Vorgang des Einfügens oder Abbildens eines Objekts in ein anderes, wobei wesentliche Strukturen oder Eigenschaften erhalten bleiben. Der Begriff wird in vielen Fachgebieten verwendet und kann sich je nach Kontext auf unterschiedliche Formen der Komposition, Integrierung oder Repräsentation beziehen.

In der Mathematik versteht man unter einer Einbettung eine Abbildung f: X → Y, die injektiv ist und deren Bild f(X) mit der Untertopologie von Y eine Homöomorphie zu X herstellt. Formal ist f eine Einbettung, wenn sie eine Topologie-Abbildung ist, die eine Topologie-Repräsentation von X in Y liefert. Als Beispiel dient die Einbettung des Kreises S^1 in die Ebene R^2 durch t ↦ (cos t, sin t). Eine Einbettung ist stärker als eine bloße Abbildung; sie erhält die Strukturen von X innerhalb von Y und unterscheidet sich von einer Immersion, die nicht notwendigerweise ein Unterraum-Topologie-Homeomorphismus ist.

In der linearen Algebra spricht man von einer Einbettung, wenn eine injektive lineare Abbildung zwischen Vektorräumen existiert. Hier gilt dim(X) ≤ dim(Y). Gegebenenfalls spricht man von einer isometrischen Einbettung, wenn zusätzlich Abstände erhalten bleiben.

In der Informatik bezeichnet Einbettung oft das Zuordnen diskreter Objekte zu kontinuierlichen Vektorräumen, sodass semantische Beziehungen möglichst gut erhalten bleiben. Beispiele sind Wort-Einbettungen, Graph-Einbettungen oder Satz-Einbettungen. Solche Repräsentationen dienen Aufgaben in der natürlichen Sprachverarbeitung, in Empfehlungssystemen, Knowledge Graphs und anderen maschinellen Lernanwendungen. Typische Lernansätze umfassen Modelle, die auf der Analyse von Ko-Occurrence-Frequenzen basieren, sowie neuronale Netze und Matrixfaktorisierung.

Außerhalb der Mathematik und Informatik wird der Begriff auch in Ingenieurs- und Designkontexten verwendet, etwa wenn Bauteile in ein größeres System eingebettet oder in eine Baugruppe integriert werden.