Inklusionsabbildung

Inklusionsabbildung ist eine mathematische Abbildung, die eine Teilmenge in eine größere Menge einbettet. Sei A eine Teilmenge von B; die Inklusionsabbildung i: A → B ist definiert durch i(a) = a für alle a in A. Ihr Bild ist A, und sie ist injektiv, da verschiedene Elemente von A auf unterschiedliche Bilder abgebildet werden.

Beispiel: Wenn A = {0, 1} und B = {0, 1, 2}, dann ist die Inklusionsabbildung i: A → B gegeben durch i(0) = 0 und i(1) = 1.

In der Topologie spielt die Inklusionsabbildung eine zentrale Rolle. Wählt man eine Teilmenge A eines topologischen Raums X, so ist die Inklusionsabbildung i: A → X stetig. Sie ist eine Einbettung (Embedding), wenn A mit der Subraumtopologie von X ausgestattet ist; dann ist i eine Homöomorphismus zwischen A und i(A) und bewahrt damit Topologieigenschaften.

In Kategorienlehre und Algebra wird die Inklusionsabbildung oft als Monomorphismus betrachtet. In Set entspricht sie genau der Eigenschaft, injektiv zu sein. In Substrukturen wie Untergruppen, Unterräumen oder Unterringen dient sie dazu, Subobjekte formal zu definieren und deren Einbettung in das größere Objekt zu kennzeichnen.

Zusammengefasst bezeichnet die Inklusionsabbildung die canonical embedding einer Teilmenge in eine Obermenge, ist meist injektiv und besitzt in vielen mathematischen Kontexten wichtige topologische oder kategoriale Eigenschaften. Sie bildet die Grundlage für das formale Verständnis von Unterobjekten in verschiedenen Strukturen.