Maatleer

Maatleer, ook wel maattheorie genoemd, is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met maten, meetbare verzamelingen en meetbare functies. Het hoofddoel is om lengtes, oppervlakten, kansen en andere grootheden te beschrijven via een maat μ op een verzameling X met een σ-algebra F.

Een maatruimte bestaat uit een drietal (X, F, μ), waarbij μ: F → [0, ∞] voldoet aan μ(∅) = 0 en σ-additiviteit. Voorbeelden zijn de Lebesgue-maat op de reële getallen en de tellingmaat op een eindige of oneindige verzameling. Meetbare functies f: X → R zijn functies waarvoor het preimage van elke Borel-verzameling in R behoort tot F; zo defineert men integraal en afstandsconvergentie.

De Lebesgue-integraal is een leidend concept in maatleer en werkt ook voor functies die niet Riemann-integreerbaar zijn. Belangrijke getallen en begrippen zijn Lp-ruimtes, Carathéodory-extensie, en conventies zoals gekoppelde kans- en verwachtingsdefinities. Cruciale stellingen omvatten het Monotone Convergentie Theorema, het Gedomineerde Convergentie Theorema, Fatou’s lemma en Fubini’s theorema, die het uitwisselen van limieten en integratie mogelijk maken.

Historisch ontstond maatleer uit werk van Henri Lebesgue en werd later door Kolmogorov geformaliseerd als fundering van de waarschijnlijkheid. Maatleer biedt de basis voor analyse, probabiliteit, statistiek, ergodetheorie en veel delen van functionaal analyse, door abstracte concepten van grootte en integratie te leveren die verder gaan dan intuïtieve meetkunde.