maattheorie

Maattheorie is een tak van de wiskundige analyse die zich richt op de formele behandeling van maat en integratie, met bijzondere aandacht voor meetbare functies en de integratie daarvan met betrekking tot een maat. Een maatruimte bestaat uit een verzameling X, een σ-algebra F van deelverzamelingen van X en een maat μ: F → [0, ∞], die voldoet aan μ(∅) = 0 en σ-additiviteit: μ(∪i Ai) = ∑ μ(Ai) voor disjuncte Ai in F. Een functie f: X → R ∪ {±∞} is meetbaar als {x: f(x) > t} ∈ F voor alle realistische drempels t. De Lebesgue-integratie wordt gedefinieerd via eenvoudige functies en de limiet van integralen van eenvoudige functies; zij biedt een robuuste generalisatie van de Riemann-integratie, vooral bij functies met onregelmatige of ongelijke verdelingen.

Belangrijke constructies zijn meetbare ruimtes, meetbare functies en de integratie met betrekking tot μ. Bekende voorbeelden zijn de Lebesgue-maat op de getallenlijn en Lebesgue-integratie op R, maar maattheorie geldt in veel meer algemene ruimtes. Kernresultaten omvatten lineariteit van de integraal, het Monotone Convergen Theorema (MCT), het Dominated Convergence Theorem (DCT) en het Fubini-theorema, die essentieel zijn voor dubbel- en meer-dimensionale integratie.

Toepassingen vinden plaats in analyse, probabiliteit en statistiek: een kansmaat is een maat met μ(X) = 1, wat meetbare gebeurtenissen en willekeurige variabelen definieert. Maattheorie vormt ook de basis voor ruimtelijke en functionaal-analytische methoden en voor het formele kader van statistische modellering.

Geschiedenis: de ontwikkeling begon bij de concepten van meetbaarheid en greep verder via Lebesgue’s theorie en werd later geformaliseerd in probabiliteit door Kolmogorov (1933).