maatruimte
Een maatruimte is een basisbegrip in de maattheorie. Het bestaat uit een drietal (X, 𝒜, μ), waarbij X een verzameling is, 𝒜 een σ-algebra van deelverzamelingen van X, en μ een maat:
- μ: 𝒜 → [0, ∞] geeft aan hoeveel een bepaalde verzameling waard is.
- μ(∅) = 0.
- Nageestelde eigenschap: voor elke verzameling A_1, A_2, … in 𝒜 met onderling disjuncte delen geldt μ(∪_{i≥1} A_i) = ∑_{i≥1}
Een maatruimte kan verschillende typen maatregelen bevatten, zoals:
- Finiete maatruimten, waarbij μ(X) < ∞.
- σ-finiete maatruimten, waarbij X kan worden opgesplitst in tellbaar veel sets uit 𝒜 met finite maat.
- Kansruimten, waarbij μ(X) = 1.
- De reële getallen ℝ met de Borel-σ-algebra 𝔹(ℝ) en de Lebesgue-maat λ vormen een maatruimte.
- Een kansruimte (Ω, 𝒜, P) is een maatruimte met P(Ω) = 1.
- Meetbare functies: een functie f: X → ℝ is meetbaar als voor elke Borel-veelhoek B geldt f^{-1}(B) ∈ 𝒜.
- Integratie: met μ kan men de Lebesgue- of Riemann-integralen definiëren, wat leidt tot concepten als L^p-ruimten.
- Toepassingen: de maatruimte wordt gebruikt in waarschijnlijkheidsrekening, analyse en statistiek.
Samenvatting: maatruimte biedt een abstract kader om “grootte” van subsets te definiëren en te combineren, zodat