Maatgetallen

Maatgetallen zijn de waarden die een maat toekent aan subsets van een verzameling. In de maattheorie is een maat een functie μ die een σ-algebra F op een verzameling Ω toewijst aan de niet-negatieve getallen (in de exc. realen), en die voldoet aan μ(∅) = 0 en aan σ-additiviteit: voor elke aftelbare collectie disjuncte sets {A_i} uit F geldt μ(∪i A_i) = Σi μ(A_i). De getallen μ(A) worden de maatgetallen genoemd van de respectieve verzamelingen A ∈ F.

Belangrijke eigenschappen zijn onder meer monotoniciteit (als A ⊆ B dan μ(A) ≤ μ(B)) en niet-negativiteit. Voorbeelden van maten zijn: de Lebesgue-maat op de reële getallen, die de lengte van intervallen geeft; de tellingmaat, waarbij μ(A) gelijk is aan het aantal elementen van A (indien dit getal eindig is); de Dirac-maat op een punt p, waarvoor μ(A) = 1 als p ∈ A en μ(A) = 0 anders; en probabilistische maten waarbij μ(Ω) = 1.

Maatgetallen vormen de basis voor integratie, waarschijnlijkheidsrekening en meetkundige toepassingen. Ze maken het mogelijk om de “groottte” van sets te kwantificeren en dienen als basis voor definities zoalsExpected values en verdelingsfuncties in kansrekening, evenals voor het berekenen van lengtes, oppervlakten en volumes in geometrie. Domeinen variëren van de Lebesgue-maat tot telling- en Dirac-maat; soms is een maat σ-finite of voldoet aan extra regulariteitsvoorwaarden.