Lipschitzconditie

De Lipschitzconditie is een wiskundige regelaanname die betrekking heeft op de mate waarin een functie f tussen metrische ruimtes of tussen vectorruimten afstandsstabiel is. Formeel bestaat er een getal L ≥ 0 zodat voor alle x en y in het domein D geldt: d_Y(f(x), f(y)) ≤ L d_X(x, y). In Euclidische ruimte met de normaalsluiting wordt dit vaak geschreven als ||f(x) − f(y)|| ≤ L ||x − y||. Het getal L wordt de Lipschitz-constante genoemd.

Er bestaan verschillende varianten. Een functie is globally Lipschitz als de bovenstaande ongelijkheid voor alle x,y in het gehele domein geldt met één en dezelfde L. Lokale Lipschitzheid betekent dat rond elk punt x0 een nabije buurt bestaat waarin er een plaatselijke Lipschitz-constante geldt; daarmee is de ongelijkheid niet noodzakelijkerwijs wereldwijd beschikbaar. Lipschitzendiërende functies zijn altijd uniform continu.

Andere belangrijke eigenschappen zijn onder meer: als f differentiabel is op een convex domein en de operatornorm van de afgeleide Df(x) overal beperkt is door M, dan is f Lipschitz met constante M (afgeleide-gebonden). Voor lineaire kaarten f(x) = Ax + b geldt L = ||A|| (in de gebruikte norm). Voorbeelden tonen dat f(x) = Ax + b Lipschitz is, terwijl f(x) = x^2 op R niet global Lipschitz is maar wel lokaal.

Toepassingen omvatten onder meer de garantie van bestaan en uniciteit van oplossingen van ODE’s (het Picard-Lindelöf-stelsel vereist Lipschitziteit in de y-variabele), de convergentie van convergentieprocessen voor vastepunten en diverse optimaliteits- en controle-theoretische resultaten. Lipschitzcondities vormen daarmee een kernregel in analyse en toepasbare wiskunde.