Koeffizientenschätzungen

Koeffizientenschätzungen bezeichnen in Statistik und Ökonometrie die Bestimmung von Parametern, die die Stärke und Richtung von Beziehungen in einem statistischen Modell beschreiben. Häufig treten sie in Regressionsmodellen auf, insbesondere in der linearen Regression, wo die Koeffizienten die Einflussgröße der Prädiktoren auf die Zielgröße quantifizieren.

Zu den verbreitetsten Schätzverfahren gehören die kleinste-Quadrate-Schätzung (OLS), die die Summe der quadratischen Abweichungen zwischen beobachteten und vorhergesagten Werten minimiert; die Maximum-Likelihood-Schätzung (MLE), die Parameter so wählt, dass die Likelihood der Beobachtungen maximiert wird; sowie Bayessche Schätzungen, bei denen aus Vorwissen eine Posteriorverteilung der Koeffizienten abgeleitet wird. OLS, MLE und viele Special-Fälle stimmen unter bestimmten Annahmen überein. Um Überanpassung zu vermeiden oder bei vielen Prädiktoren Regularisierung zu nutzen, kommen Verfahren wie Ridge (L2) und Lasso (L1) sowie Kreuzvalidierung zum Einsatz.

Eigenschaften und Annahmen: Unter klassischen Annahmen liefert OLS schätzer BLUE (best Linear Unbiased Estimator) gemäß dem Gauss-Markov-Theorem. MLE- und Bayesianische Schätzungen besitzen je nach Verteilung und Modell spezifische Eigenschaften, wie Asymptotische Normalität und Konsistenz. Zentrale Modellannahmen umfassen Linearity, Exogenität der Fehler, Homoskedastizität und keine perfekte Multikollinearität; Verletzungen können Verzerrungen oder Ineffizienz verursachen. Diagnostische Schritte prüfen Residuen auf Heteroskedastizität, Autokorrelation und Ausreißer; Multikollinearität wird häufig mittels Varianzinflationsfaktoren bewertet.

Anwendungen und Erweiterungen: Koeffizientenschätzungen bilden das Kernwerkzeug linearer Modelle und lassen sich auf generalisierte lineare Modelle, gemischte Modelle oder Zeitreihen erweitern. Modellselektion, Informationskriterien (AIC, BIC) und Validierung helfen bei der Auswahl eines sinnvollen Modells. Softwareunterstützung erfolgt in R, Python (z. B. statsmodels, scikit-learn), MATLAB, SAS und Stata.