Getallenleer

Getallenleer, ook wel number theory genoemd, is een tak van de wiskunde die zich richt op de eigenschappen en relaties van gehele getallen en verwante algebraïsche structuren. Kernonderwerpen zijn priemgetallen, deling en congruenties, getallenfuncties en de studie van Diophantische vergelijkingen en verwante vraagstukken.

De wortels van de getallenleer liggen in de oudheid. Euclides leverde in zijn Elementen fundamentele resultaten zoals de oneindige hoeveelheid priemgetallen en het euclidische algoritme voor de grootste gemene deler. In de loop der tijd kreeg de theorie belangrijke impulsen door Fermat, Euler en Gauss. In de negentiende en twintigste eeuw brachten doorbraken in algebraïsche getaltheorie (Dedekind, Dirichlet) en analyse (de Riemann-zeta-functie, de verdeling van priemgetallen) grote vooruitgang. Moderne getallenleer verbindt algebra, analyse en computationele methoden.

Belangrijke subvelden zijn onder meer analytische getallenleer, dat de verdeling van priemgetallen en L-functies bestudeert; algebraïsche getaltheorie, dat getallen onderzoekt via algebraïsche structuren zoals ringen en velduitbreidingen; computationele getallenleer, dat algoritmen voor factorisatie, congruenties en cryptografische toepassingen ontwikkelt; en arithmetische meetkunde, dat getaltheorie en meetkunde combineert via elliptische krommen en verwante objecten.

Toepassingen van de getallenleer zijn onder meer cryptografie (zoals RSA en elliptische-curvecryptografie), coderingsleer en algorithmisch getallenonderzoek in computerwetenschappen. Het vak blijft actief met grote onbeantwoorde vraagstukken, waaronder de hypothese van Riemann en vele diophantijnse conjecturen.