Riemannzetafunctie

De Riemannzetafunctie, ζ(s), is een complexe functie die een centrale rol speelt in de getaltheorie en analyse. Voor complex s met Re(s) > 1 wordt ζ(s) gedefinieerd als de oneindige som ζ(s) = ∑_{n=1}^∞ n^{-s}. Deze serie convergeert en bepaalt een holomorfe functie op dit halfvlak. Door analytische voortzetting geldt ζ(s) uiteindelijk voor bijna het hele complexe vlak behalve s = 1, waar ζ een eenvoudige pole heeft met residu 1.

Daarnaast geldt voor Re(s) > 1 de Euler-product: ζ(s) = ∏_{p}(1 - p^{-s})^{-1}, waarin de factoren lopen over alle priemgetallen. Dit linkt de zeta-functie direct aan de verdeling van priemgetallen.

De Riemannzetafunctie kan worden voortgezet naar een analytische functie op het complexe vlak met uitzondering van s = 1. Een belangrijke vorm van de functionele vergelijking is ζ(s) = 2^s π^{s-1} sin(π s/2) Γ(1 - s) ζ(1 - s). Hiermee wordt de relatie tussen ζ(s) en ζ(1 - s) expliciet en ontstaat ook een symmetrie die leidt tot de aanpassing via de gehele functie ξ(s) = 1/2 s(s-1) π^{-s/2} Γ(s/2) ζ(s), die voldoet aan ξ(s) = ξ(1 - s).

Zijner nulpunten verdeelt zich in twee kinds: triviale nulpunten bij s = -2, -4, -6, ... en niet-triviale nulpunten in het kritieke strook 0 < Re(s) < 1. De Riemann-hypothese stelt dat alle niet-triviale nulpunten liggen op de kritieke lijn Re(s) = 1/2. Deze hypothese heeft diepe gevolgen voor de nauwkeurige verdeling van priemgetallen en is verbonden met bewijzen rond de priemgetallenstelling.

Waarde en toepassingen: ζ(2) = π^2/6, ζ(4) = π^4/90, en meer algemene waarden geven relateerde uitkomsten in combinatoriek, probabilistische getaltheorie en analytische getaltheorie. De zeta-functie dient ook als controlemiddel in diverse integralen en asymptotische schattingen.