Funktionssymbole

Funktionssymbole sind zentrale Bausteine formaler Sprachen in Logik, Mathematik und Informatik. Sie gehören zu einer Signatur einer Sprache und geben die Arität eines Symbols vor, also die Anzahl der Argumente, die der Funktionsausdruck annimmt. Zu einer Signatur gehören typischerweise Funktionssymbole mit festgelegten Aritäten sowie Konstanten (0-äre Funktionssymbole).

In einem Modell oder einer Struktur M interpretiert jedes Funktionssymbol f mit Arität n eine Funktion f^M: D^n → D, wobei D die Domäne von M ist. Konstanten liefern Elemente der Domäne als f^M_0. Neben Funktionssymbolen gibt es in der Logik auch Prädikatensymbole, deren Interpretation als Teilmengen von D^k in der Logik erfolgt. Funktionssymbole unterscheiden sich somit von Prädikatsymbolen, die Wahrheitswerte liefern, während Funktionssymbole Werte aus D liefern.

Termbildung: Aus Funktionssymbolen, Konstanten und Variablen lassen sich termale Ausdrücke konstruieren. Ein Term ist eine syntaktische Bauanleitung, die in einem Modell einen Wert in D ergibt. Die Termalgebra bildet damit die syntaktische Grundlage zum Ausdruck von Objekten und deren Beziehungen.

Beispiele: In einer Gruppensignatur könnte ein binäres Funktionssymbol * die Gruppenoperation darstellen, ein 0-ary Symbol e das neutrale Element liefern. In einer Ring-Signatur würden + und · als Funktionssymbole auftreten, ergänzt durch Konstanten 0 und 1.

Bedeutung: Funktionssymbole ermöglichen die axiomatische Spezifikation von Theorien, die Konstruktion von Termen und Modellen sowie die formale Semantik in Mathematik, Logik und computerwissenschaftlicher Formalisierung.