Prädikatensymbole

Prädikatensymbole sind in der Prädikatenlogik Symbole, die Prädikate ausdrücken, also Eigenschaften von Objekten oder Relationen zwischen Objekten. Jedes Prädikatensymbol P besitzt eine Arity n≥1, das heißt, es nimmt n Terme als Argumente. Aus einem Prädikatensymbol P und n Termen t1,...,tn bildet man eine atomare Formel P(t1,...,tn). Komplexe Formeln entstehen durch logische Verknüpfungen (und, oder, nicht) sowie durch Quantifikation (forall, exists) aus diesen atomaren Formeln.

Semantik: In einer Interpretation oder Struktur M = (D, I) wird jedem Prädikatensymbol P mit Arity n eine Relation I(P) ⊆ D^n zugeordnet. Terme werden in der Interpretation durch Funktionen bewertet, so dass t^M eine n-Tupel in D darstellt. Die atomare Formel P(t1,...,tn) ist wahr in M unter einer Belegung σ, wenn (t1^M, ..., tn^M) in I(P) liegt. Die Bewertung von komplexen Formeln erfolgt gemäß den üblichen Wahrheitsregeln der Logik.

Beziehung zu anderen Symboltypen: Prädikatensymbole unterscheiden sich von Funktionssymbolen, die Objekte aus D zurückgeben, und von Konstanten, die fest in D interpretierte Objekte repräsentieren. Prädikatesymbole liefern Wahrheitswerte abhängig von der Zugehörigkeit der Interpretationen der Terme zur zugrundeliegenden Relation.

Beispiele: In einer Sprache mit einem binären Prädikatensymbol R und einer Konstanten c könnte R(c, x) „c steht in Relation R zu x“ ausdrücken. In der Zahlentheorie könnte man P(x) als Unäquivalent zu „x ist eine gerade Zahl“ interpretieren.

Anwendung: Prädikatensymbole bilden die Kernbausteine formaler Sprachen zur Beschreibung von Eigenschaften und Beziehungen, dienen der Formulierung mathematischer Sätze und der Modellierung von Bedeutungen in Informatik, Linguistik und Semantik.