Funktionssymbolen

Funktionssymbole sind formale Symbole in logischen Sprachen und in der Universal-Algebra, die eine Funktion mit einer bestimmten Arität n≥0 darstellen. In einer Signatur Σ werden Funktionssymbole zusammen mit ihrer Arität angegeben; Konstanten haben Arität 0. Aus Funktionssymbolen und Variablen werden Terme aufgebaut, zum Beispiel T ::= x | f(t1, ..., tn).

Semantikell erfasst eine Interpretation I in einer Struktur A jedem Funktionssymbol f der Signatur eine tatsächliche Funktion f^A: A^n → A. Konstanten k erhalten ein Element k^A ∈ A. Die Bedeutung eines Terms ergibt sich durch wiederholte Anwendung der entsprechenden Interpretationen.

Beispiele: In einer Struktur mit dem Diskontinuum kann das Funktionssymbol + (Arität 2) durch die Addition ^A: A×A → A interpretiert werden, während ein Funktionssymbol sin (Arität 1) eine trigonometrische Funktion abbilden kann. In der Algebra dienen Funktionssymbole zur Darstellung von Operationen wie Addition oder Multiplikation, die von der zugrunde liegenden Struktur interpretiert werden.

Unterscheidung: Funktionssymbole unterscheiden sich von Prädikatsymbolen (Relationen). Prädikatsymbole liefern Wahrheitswerte, während Funktionssymbole zu konkreten Funktionswerten auf der Domäne führen.

Anwendungen: Signaturen und Strukturen bilden die Grundlage der formalen Logik, der universellen Algebra, der Terminrewriting-Systeme und der formalen Spezifikation von Programmiersprachen. In vielen Bereichen dient das Konzept der Funktionssymbole dazu, mathematische und computationale Strukturen präzise zu beschreiben und zu analysieren.