Eigenwertproblemen

Ein Eigenwertproblem besteht darin, einen Skalar λ und einen nicht Nullvektor x zu finden, so dass eine lineare Abbildung A den Vektor x mit λ skaliert: A x = λ x. In der stetigen Variante geht es um Differentialoperatoren L, bei denen y mit L y = λ y zusammen mit Randbedingungen gesucht wird. Die Paare (λ, x) bzw. (λ, y) heißen Eigenwerte bzw. Eigenfunktionen oder Eigenvektoren.

Bei einer Matrix A liegen die Eigenwerte als Nullstellen der charakteristischen Gleichung det(A − λ I) = 0 vor. Die algebraische Vielfache eines Eigenwerts bezeichnet die Multiplikität als Wurzel der Gleichung, während die geometrische Vielfache die Dimension des zugehörigen Eigenspace angibt. Die Unterschiede zwischen algebraischer und geometrischer Vielfache geben Hinweise auf die Diagonalisierbarkeit der Matrix.

Für reale symmetrische Matrizen oder hermitesche Operatoren sind die Eigenwerte real, und die zugehörigen Eigenvektoren können orthogonal gewählt werden. Allgemeine Matrizen können jedoch komplexe Eigenwerte besitzen und sind nicht immer diagonalisierbar. Generalisierte Eigenwertprobleme nehmen die Form A x = λ B x an, wobei B oft positiv definit ist; solche Probleme treten in Diskretisierungen von Differentialgleichungen, bei Modellreduktion und in der Mechanik auf.

Numerische Methoden zur Bestimmung von Eigenwerten umfassen das Potenzverfahren, Invers- bzw. Shift-Invers-Verfahren, den QR-Algorithmus sowie spektral orientierte Verfahren wie Lanczos- und Arnoldi-Verfahren. Die Wahl der Methode hängt von Problemgröße, Struktur von A und von der gewünschten Eigenwertregion ab.

Anwendungen finden sich in der Stabilitätsanalyse, der Bestimmung von Schwingungsmoden, der Quantenmechanik, Diffusions- und Wärmeleitungsproblemen, der Hauptkomponentenanalyse sowie in vielen Bereichen der linearen Optimierung und Datenanalyse.