hermitesche

Hermitesche Polynome, eine Folge von Polynomen, wurden nach dem französischen Mathematiker Charles Hermite benannt. In der deutschsprachigen Mathematik wird der Ausdruck hermitesche Polynome häufig verwendet, um Polynomfamilien zu kennzeichnen, die aus Hermites Arbeiten zur Analysis und Algebra hervorgehen. Die bekannteste Familie erscheint durch eine Erzeugungsfunktion und spielt eine zentrale Rolle in der Theorie der Gauß-Verteilung sowie in der Quantenmechanik.

H_n(x) werden durch die Erzeugungsfunktion e^{2xt - t^2} = sum_{n=0}^\infty H_n(x) t^n / n! definiert. Die Folge erfüllt die Rekursion H_{n+1}(x) = 2x H_n(x) − 2n H_{n-1}(x) mit H_0(x) = 1, H_1(x) = 2x. Sie erfüllen außerdem die Differentialgleichung y'' − 2x y' + 2n y = 0. Mit Gewichtung e^{−x^2} sind sie orthogonal: ∫_{−∞}^{∞} e^{−x^2} H_m(x) H_n(x) dx = √π 2^n n! δ_{mn}. Anwendungen finden sich in der Analysis, der Approximationstheorie und in der Quantenmechanik, insbesondere beim harmonischen Oszillator.

Hermitesche Interpolation ist ein Interpolationsverfahren, das neben Funktionswerten an Stützstellen auch Ableitungen berücksichtigt. Gegeben eine Menge von Stützstellen x_i und Werte f(x_i) sowie ggf. Ableitungen f^{(k)}(x_i) bis zum gewünschten Grad, konstruiert man ein Polynom P, das alle angegebenen Bedingungen erfüllt. Die Hermitesche Interpolationspolynom hat in der Regel höheren Grad als bei reiner Interpolation und ist eindeutig, sofern genügend Randbedingungen vorhanden sind. Anwendungen finden sich in der Computeralgebra, der Signalverarbeitung und der Geometrie.

Auch hermitesche Funktionen treten auf, definiert als F_n(x) = e^{−x^2/2} H_n(x) bzw. in normalisierter Form; diese Funktionen bilden zusammen mit e^{−x^2/2} die Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators und spielen eine zentrale Rolle in der Fourier-Analyse und der Zeit-Frequenz-Darstellung.