Eigenfunktionen

Eigenfunktionen sind Nicht-Null-Funktionen f in einem geeigneten Funktionraum, für die ein Skalar λ existiert, so dass T f = λ f gilt, wobei T ein linearer Operator ist. Sie charakterisieren invariant Unterräume unter T und treten häufig als Lösungen von Differential- oder Integralgleichungen auf, die durch Rand- oder Anfangsbedingungen definiert sind.

Typischerweise betrachtet man T als selbstadjungierten Operator, etwa den Laplace-Operator Δ oder den Hamiltonoperator H in der Quantenmechanik. Dann lassen sich Eigenwerte λ mit zugehörigen Eigenfunktionen f eindeutig bestimmen, und zu verschiedensten Eigenwerten ergeben sich orthogonale Funktionen unter einem passenden Skalarprodukt.

Im Rahmen der Sturm-Liouville-Theorie entstehen auf einem Intervall [a,b] eine Folge reellwertiger Eigenfunktionen φ_n mit zugehörigen Eigenwerten λ_n. Diese Funktionen sind unter dem Gewicht w(x) orthogonal: ∫_a^b w(x) φ_m(x) φ_n(x) dx = 0, wenn m ≠ n. Typischerweise wächst die Anzahl der Nullstellen von φ_n mit dem Index n.

Die konkrete Form der Eigenfunktionen hängt von den Randbedingungen ab. Als Beispiel besitzt der eindimensionale Laplacian mit Dirichlet-Bedingungen auf [0,L] die Eigenfunktionen φ_n(x) = sin(nπx/L) mit Eigenwerten λ_n = (nπ/L)^2.

Anwendungen finden sich in Quantenmechanik, Schwingungslehre und Signalverarbeitung. Stationäre Zustände, normale Moden von Strukturen und Reihenentwicklungen von Signalen lassen sich oft durch eine geeignete Menge von Eigenfunktionen darstellen. In vielen Fällen bilden die Eigenfunktionen eine vollständige orthonormale Basis im entsprechenden Hilbertraum, insbesondere für selbstadjungierte Operatoren.

Numerisch werden Eigenfunktionen häufig durch Diskretisierung (Finite-Differenzen, Finite-Elemente) approximiert. Verfahren wie Lanczos- oder Power-Iteration liefern Näherungen an die größten bzw. kleinsten Eigenwerte und zugehörige Funktionen.