Reihenentwicklungen

Reihenentwicklungen sind Darstellungen von Funktionen als unendliche Summen von Termen, die in einer bestimmten Reihenfolge auftreten. Sie dienen der Annäherung, der Analyse und der Berechnung von Funktionen. Typischerweise wird eine Entwicklung um einen festen Punkt a betrachtet: f(x) = sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n. Die Koeffizienten c_n hängen von f und dem Entwicklungspunkt ab.

Die bekanntesten Formen sind Taylor- bzw. Maclaurin-Entwicklungen, bei denen c_n durch Ableitungen bestimmt werden und c_n = f^{(n)}(a)/n! gilt. Die Reihe konvergiert innerhalb eines Konvergenzradius R, der durch die nächstgelegene Singularität von f bestimmt wird. Die Taylor-Entwicklung dient der exakten Darstellung lokaler Eigenschaften einer Funktion; die Maclaurin-Entwicklung ist der Spezialfall a = 0. Neben Taylor-Entwicklungen existieren auch andere Reihenformen wie Binomialreihen, asymptotische Reihen oder Laurent-Reihen, die um andere Arten von Punkten entwickelt werden.

Weitere Formen bilden Fourier-Reihen für periodische Funktionen, dargestellt als Summe von Sinus- und Kosinusgliedern. Fourier-Reihen finden Anwendung in der Harmonischen Analyse und Signalevaluierung, besonders auf Intervallen mit periodischer Fortsetzung. Die Konvergenz der Reihen hängt von der Glätte der Funktion und von Randbedingungen ab.

Anwendungen und Limitationen: Reihenentwicklungen ermöglichen analytische Näherungen, asymptotische Aussagen und numerische Berechnungen. Üblicherweise reicht eine Abschätzung des Rests aus (z. B. Lagrange-Form oder Integralrest). Bei Divergenz oder langsamer Konvergenz kommen Summationsmethoden wie Padé-Approximation oder Borel-Summation zum Einsatz.