FourierReihen
FourierReihen, auch Fourier-Reihen genannt, sind Darstellungen periodischer Funktionen als unendliche Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen. Für eine 2π-periodische Funktion f mit ausreichender Regularität gilt
f(x) ~ a0/2 + Σ_{n=1}^∞ [an cos(nx) + bn sin(nx)],
wobei die Koeffizienten durch Integrale bestimmt werden:
a0 = (1/π) ∫_{-π}^{π} f(x) dx,
an = (1/π) ∫_{-π}^{π} f(x) cos(nx) dx,
bn = (1/π) ∫_{-π}^{π} f(x) sin(nx) dx.
Für Funktionen mit einer anderen Periode 2L gelten die Varianten
a0 = (1/L) ∫_{-L}^{L} f(x) dx,
an = (1/L) ∫_{-L}^{L} f(x) cos(nπx/L) dx,
bn = (1/L) ∫_{-L}^{L} f(x) sin(nπx/L) dx.
Konvergenz und Voraussetzungen: Unter Dirichlet-Bedingungen konvergiert die Fourier-Reihe an jedem x gegen den Mittelwert aus links
Die komplexe Form schreibt sich als f(x) ~ ∑_{n=-∞}^{∞} c_n e^{inx}, mit c_n = (1/2π) ∫_{-π}^{π} f(x) e^{-inx} dx.
Parsevalschen Identity: (1/π) ∫_{-π}^{π} f(x)^2 dx = a0^2/2 + Σ_{n=1}^{∞} (an^2 + bn^2).
Anwendungen umfassen Signalverarbeitung, Lösung PDE-bedingter Probleme (Wärme- und Wellenleitung), Akustik und Bildverarbeitung. Die Fourier-Reihe geht auf