TaylorEntwicklung
Die Taylorentwicklung ist eine Methode der Funktionserweiterung in der Analysis. Sie beschreibt eine Funktion f um einen Entwicklungspunkt a durch eine Potenzreihe: f(x) = sum_{n=0}^∞ f^{(n)}(a)/n! (x-a)^n, sofern alle Ableitungen existieren und die Reihe konvergiert. Die endliche Summe bis zum n-ten Glied heißt Taylorpolynom T_n(x). Der Rest R_n(x) misst den Fehler der Näherung.
Im Lagrange-Form des Restglieds gilt R_n(x) = f^{(n+1)}(ξ)/(n+1)! (x-a)^{n+1} für ein ξ zwischen a und x, unter geeigneten
Die Taylorentwicklung gilt auch als Maclaurinreihe, wenn a = 0. Die Reihe konvergiert in einem Intervall um
Beispiele: Die Exponentialfunktion e^x hat um jeden a die Entwicklung e^x = e^a sum_{n=0}^∞ (x-a)^n/n!; die Funktionen
Anwendungen umfassen die Näherung von Funktionswerten, Fehlerabschätzungen, Numerik, die Lösung von Differentialgleichungen und Symbolrechnerische Berechnungen.
Die Entwicklung wurde nach Brook Taylor benannt, der sie im 18. Jahrhundert systematisierte.