Potenzreihe

Eine Potenzreihe ist eine unendliche Summe der Form sum_{n=0}^\infty a_n (z - z0)^n, wobei z0 der Mittelpunkt und a_n Koeffizienten sind, gewöhnlich in den komplexen Zahlen. Der Konvergenzradius R bestimmt die Region, in der die Reihe konvergiert: Für alle z mit |z - z0| < R liefert die Reihe eine endliche Summe und definiert eine Funktion f(z). Ist R unendlich, konvergiert die Reihe für alle z und liefert eine gesamte Funktion. Ist R gleich null, konvergiert sie nur im Zentrum.

Der Radius R lässt sich über die Koeffizienten bestimmen: 1/R = limsup_{n→∞} |a_n|^{1/n} (Cauchy-Hadamard-Formel). Innerhalb der Konvergenzzone ist f analytisch, und Ableitungen sowie Integrationen der Reihe gelten punktweise termweise: f'(z) = sum_{n=1}^\infty n a_n (z - z0)^{n-1}, usw. Die Koeffizienten entsprechen a_n = f^{(n)}(z0)/n!, sofern f eine analytische Fortsetzung besitzt.

Die Potenzreihe ist daher die Taylor-Reihe der Funktion f um z0. Die maximale Ausdehnung der Konvergenz wird durch die nächstgelegene Singularität von f bestimmt; der Abstand von z0 zu diesem Punkt ergibt den Radius R. Ein bekanntes Beispiel ist die geometrische Reihe sum_{n=0}^\infty z^n mit a_n = 1 und Radius R = 1 (für z0 = 0).

Neben Anwendungen in der Analysis gibt es auch formale Potenzreihen, bei denen die Konvergenz nicht betrachtet wird. In der Kombinatorik dienen solche formellen Potenzreihen oft als Generating Functions (OGF).