Potenzreihen

Potenzreihen sind Reihen der Form sum_{n=0}^\infty a_n (z - z0)^n, wobei z eine komplexe oder reelle Variable ist und z0 das Expansionszentrum. Die Koeffizienten a_n liegen typischerweise in den komplexen Zahlen. Es existiert ein Radius R ≥ 0 der Konvergenz, so dass die Reihe für alle z mit |z - z0| < R absolut konvergiert und für |z - z0| > R divergiert. R wird Radius der Konvergenz genannt; er hängt mit der Entfernung zur nächsten Singularität der durch die Reihe dargestellten Funktion zusammen. Falls die Funktion ganz ist, gilt R = ∞. Am Rand |z - z0| = R kann die Reihe konvergieren oder divergieren, je nach Fall.

Innerhalb des Konvergenzradius definiert die Summe f(z) = sum_{n=0}^\infty a_n (z - z0)^n eine analytische Funktion. Termweise Differenzieren und Integrieren ist möglich: f'(z) = sum_{n=1}^\infty n a_n (z - z0)^{n-1} und f(z) lässt sich wiederherstellen, indem man die Potenzen um jeweils eine Potenz erhöht. Die Reihe dient auch alsTaylor-Reihe um z0; bei z0 = 0 spricht man von einer Maclaurin-Reihe.

Beispiele: Die geometrische Reihe 1/(1 - w) = sum_{n=0}^\infty w^n gilt für |w| < 1. Die Exponentialreihe e^z = sum_{n=0}^\infty z^n / n! gilt für alle z. Der Konvergenzradius lässt sich über das Cauchy-Hadamard-Kriterium beschreiben: 1/R = limsup_{n→∞} |a_n|^{1/n}. Falls der Grenzwert lim_{n→∞} |a_{n+1}/a_n| existiert, gilt R = lim |a_n/a_{n+1}|.

Anwendungen gehören zur Darstellung analytic Funktionen, zur Lokalität von Approximationen, sowie zur Lösung von Differentialgleichungen und zur analytischen Fortsetzung in Domänen um das Zentrum.