Approximationen

Approximationen bezeichnen in der Mathematik und den Naturwissenschaften Verfahren, reale Größen, Funktionen oder komplexe Modelle durch einfachere, berechenbarere Objekte zu ersetzen, um deren Werte oder Verhalten zu schätzen. Ziel ist eine geringe Abweichung bei erhöhter Rechen- oder Interpretierbarkeit.

Zu den gängigen Typen gehören analytische Näherungen wie Taylor-Polynome, die eine Funktion in der Nähe eines Punktes durch ein Polynom annähern, sowie globale Ansätze wie Interpolation und numerische Integrationsregeln (Trapez- oder Simpson-Formeln). Auch rationelle oder trigonometrische Approximationen, Fourier- oder Chebyshev-Serien kommen zum Einsatz. In der Informatik werden Approximationsalgorithmen verwendet, um schwierige Probleme mit garantierter Näherungslaufzeit zu lösen.

Fehlerabschätzung und Konvergenz sind zentrale Anliegen. Der Fehler lässt sich oft durch verbleibende Terme der Darstellung oder durch Abschätzungen der Konvergenzordnung begrenzen. Die Best-Approximation-Theorie sucht die beste Näherung in einem vordefinierten Funktions- oder Datenraum.

Anwendungen finden sich in der numerischen Analysis, der Physik, Technik, Signalverarbeitung und Datenmodellierung. Näherungen ermöglichen effiziente Berechnungen, Simulationen und eine verständliche Modellierung, tragen aber Unsicherheiten und Fehlerquellen bei, die je nach Anwendungsfall bewertet werden müssen.

Historisch reicht der Einsatz von Näherungen von der Entwicklung der Analysis bis zur modernen Computernumerik; zentrale Konzepte wie Konvergenz und Fehlerabschätzung wurden in der Approximationstheorie formalisiert.