Eigenwertprobleme

Ein Eigenwertproblem bezeichnet die Bestimmung von Skalaren λ (Eigenwerte) und Nicht-Null-Vektoren v (Eigenvektoren) eines quadratischen Abbilders A. Im einfachsten Fall, A ist eine n×n-Matrix über dem reellen oder komplexen Zahlenkörper. Gesucht wird eine Lösung der Gleichung Av = λv, wobei v ≠ 0. Solche Probleme lassen sich auch für lineare Operatoren in Vektorräumen höherer Dimension formulieren, etwa für Differentialoperatoren in Funktionsräumen.

Für eine Matrix A sind die Eigenwerte die Lösungen der charakteristischen Gleichung det(A − λI) = 0. Die Werte können real oder komplex sein; komplexe Eigenwerte treten paarweise als konjugierte Paare auf. Eigenschaften wie der Spur (Summe der Eigenwerte) und dem Determinantenwert (Produkt der Eigenwerte) verbinden die Algebra der Matrix mit ihren Spektraleigenschaften.

Besonders wichtig sind symmetrische bzw. hermitesche Matrizen: Sie besitzen reelle Eigenwerte und zugehörige orthogonale Eigenvektoren; damit gilt A = QΛQ^T mit einer orthogonalen Matrix Q und einer reellen Diagonalmatrix Λ (Spektralsatz). Ein allgemeines Eigenwertproblem in der Form Av = λBv (mit B invertierbar) wird als generalisiertes Eigenwertproblem bezeichnet und tritt in vielen Anwendungen auf, insbesondere in Stabilitäts- und Vibrationstheorie.

Anwendungen finden sich in der Physik, Technik und Numerik: Die Eigenwerte bestimmen Stabilität und Frequenzen von Systemen, lösen Schwingungs- und Quantensysteme, oder definieren Basisfunktionen in Differentialgleichungslösungen. Insbesondere in Sturm-Liouville-Problemen liefern diskrete Eigenwerte die zulässigen Frequenzen und Eigenfunktionen.

Zur numerischen Bestimmung von Eigenpaaren werden Verfahren wie das Potenzverfahren (für dominierende Eigenwerte), das QR-Verfahren, oder iterative Methoden wie Lanczos- bzw. Arnoldi-Verfahren für große, spärliche Matrizen verwendet. Die Wahl des Verfahrens hängt von der Struktur der Matrix und der gewünschten Genauigkeit ab.