Eenparametergezin

Eenparametergezin is in de statistiek een familie van kansverdelingen die wordt gekenmerkt door een enkele vrijheidsparameter θ. Voor elke θ in een domein Θ geeft p(x|θ) de dichtheids- of massafunctie van een toevalsvariabele X, zodat de verdeling afhankelijk is van θ. Het idee is dat alle leden van het gezin dezelfde vorm delen en enkel door θ worden getransformeerd.

Veel voorkomende voorbeelden zijn de Poisson-familie met de parameter λ > 0, de Bernoulli-familie met p in [0,1], de Binomiale familie met vaste n en p, de Exponentiële familie met λ > 0 en de normale familie N(μ, σ²) met μ als vrije parameter (en met bekende σ). Deze voorbeelden illustreren hoe één parameter volstaat om de verschillende verdelingen in het gezin te beschrijven.

In de praktijk is een éénparameterfamilie vaak beter hanteerbaar bij statistische inferentie. De likelihood L(θ) = ∏ p(x_i|θ) vormt de basis om θ te schatten via maximum likelihood. De Fisher-informatie I(θ) geeft een maat voor de hoeveelheid informatie over θ die de data leveren. Veel éénparameterfamilies vallen binnen de exponentiële families, wat theoretische voordelen oplevert, zoals sufficiëntie en eenvoudige kansrekening bij schattingen en tests. Soms wordt een andere parameterisatie gekozen om de analyse te vereenvoudigen of om een canonieke parameter te verkrijgen.

Eenparameterfamilies vormen bouwstenen voor bredere modellen waarin meerdere parameters tegelijk variëren, en dienen als uitgangspunt voor vergelijking en inferentie in statistische modeling.