Binomiale

Binomiale est un terme utilisé en mathématiques pour désigner ce qui se rapporte à deux termes ou éléments pris ensemble. Il apparaît surtout dans le cadre de concepts algébriques et probabilistes où l’on manipule des expressions impliquant deux termes, comme x et y, ou des essais Bernoullis.

Les coefficients binomiaux constituent l’un des usages clés du mot. Pour n et k entiers non négatifs, le coefficient binomial est noté binom(n, k) et vaut n! / (k!(n - k)!). Ces coefficients comptent les façons de choisir k éléments parmi n et apparaissent dans les expansions et les tableaux de Pascal. Ils jouent un rôle central en combinatoire et en algèbre.

Le théorème binomial décrit l’expansion de (a + b)^n lorsque n est un entier naturel. Il s’écrit (a + b)^n = sum_{k=0}^n binom(n, k) a^{n-k} b^k, et les coefficients de l’expansion sont précisément les coefficients binomiaux. Ce théorème relie l’algèbre à la combinatoire et permet d’étudier des polynômes à deux variables.

La distribution binomiale est une notion de probabilités et de statistiques. Si X suit une distribution binomiale avec paramètres n et p (X ~ Bin(n, p)), alors X compte le nombre de succès dans n essais indépendants, chacun ayant une probabilité p de réussite. Sa fonction de masse est P(X = k) = binom(n, k) p^k (1 - p)^{n - k} pour k = 0,...,n, avec espérance E[X] = np et variance Var[X] = np(1 - p).

Applications et liens: combinatoire, algèbre, probabilité et statistique, avec les coefficients binomiaux visibles dans les triangles de Pascal et les expansions polynomiales.