algébriques

Les algébriques, ou les nombres algébriques, désignent les nombres complexes qui sont racines d'un polynôme non nul à coefficients entiers (ou, équivalemment, rationnels). Autrement dit, un nombre α est algébrique s’il existe f(x) ∈ Z[x] non nul tel que f(α) = 0. Le polynôme minimal de α sur Q est l’unique polynôme irréductible de Q[x] qui l’annule; le degré de α sur Q est la degree de ce polynôme minimal.

L’ensemble des nombres algébriques, noté Qbar, forme un corps qui contient Q et qui est algébriquement clos: tout polynôme à coefficients dans Qbar possède ses racines dans Qbar. Autrement dit, Qbar est l’algébrique fermeture de Q dans le corps des nombres complexes. Chaque élément de Qbar est algebraique sur Q, et Qbar est une extension algébrique de Q.

Parmi les propriétés clés, les algébriques forment un ensemble clos par les opérations usuelles: addition, soustraction, multiplication et division (pour les non zéros) restent algébriques. L’ensemble des nombres algébriques est dénombrable et dense dans R (puisque les rationnels, qui sont algébriques, sont denses). Pour un élément α ∈ Qbar, le degré [Q(α) : Q] est fini et égal au degré de son polynôme minimal; les conjugués de α sont les autres racines de ce polynôme.

Exemples: √2 est algébrique (racine de x^2 − 2); le nombre d’or (1 + √5)/2 est algébrique. En revanche, les nombres transcendants comme π ou e ne figurent pas dans Qbar. L’étude des nombres algébriques est centrale en théorie des nombres et en géométrie algébrique, et elle conduit à la théorie des corps de nombres et à la théorie de Galois.