polynôme

Un polynôme est une expression algébrique formée par une somme finie de termes de la forme a_i x^i, où i est un entier non négatif et a_i est un coefficient décroché dans un domaine ou anneau donné. En une variable, on écrit généralement P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, avec a_n ≠ 0. Le degré deg(P) est n et le coefficient de tête est le coefficient directeur a_n. Les polynômes forment un anneau F[x] lorsque les coefficients a_i appartiennent à un corps F, et, plus généralement, une famille en plusieurs variables si l’on autorise P(x1, ..., xk) = somme de termes coefficientisés par des puissances des variables.

Des notions associées incluent la racine ou zéro de P, c’est‑à‑dire les solutions de P(x) = 0, et les notions de facteurs et de factorisation. Le théorème fondamental de l’algèbre affirme que, sur le corps des complexes, tout polynôme non constant se factorise en produit de facteurs linéaires, comptant les multiplicités. Sur les réels, il peut se décomposer en facteurs linéaires et quadratiques irréductibles.

L’algorithme de division permet, pour deux polynômes P et Q avec Q non nul, d’écrire P = Q·G + R où le degré de R est strictement inférieur au degré de Q. Des relations comme les formules de Viète relient les coefficients aux sommes et produits des racines.

Les polynômes jouent un rôle central en analyse, algèbre et géométrie, que ce soit pour décrire des fonctions polynomiales, effectuer des factorisations, ou résoudre des équations. Ils existent aussi en variantes multivariables et avec des coefficients dans divers anneaux ou corps.