fonctions

En mathématiques, une fonction f d'un ensemble A vers un ensemble B associe à chaque élément x de A exactement un élément f(x) de B. Le domaine est A, le codomaine est B, et l'image de A par f est appelée l’image ou l’ensemble des valeurs atteintes.

Notations et exemples: f: A → B; f(x) désigne la valeur associée à x. Exemple: f: R → R avec f(x) = x^2 ; le domaine est R, le codomaine est R, mais l’image est [0, ∞).

Types et inverses: les notions fondamentales incluent l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité. Une fonction est injective (ou un-à-un) si x1 ≠ x2 implique f(x1) ≠ f(x2); elle est surjective si tout élément y de B possède au moins un x de A tel que f(x) = y; elle est bijective si elle est à la fois injective et surjective, ce qui garantit l’existence d’une inverse f^{-1}: B → A.

Opérations et constructions: composition: si f: A → B et g: B → C, alors la composition g ∘ f: A → C est définie par (g ∘ f)(x) = g(f(x)). L’identité: id_A: A → A, id_A(x) = x. On rencontre aussi les fonctions par morceaux, définies par différentes formules sur des sous-domaines de A.

Graphes et propriétés: le graphe de f est l’ensemble de couples (x, f(x)) ⊂ A × B. En analyse, on étudie des propriétés telles que la continuité, les limites et la dérivabilité. En informatique, le terme peut aussi désigner un sous-programme qui prend des entrées et retourne une sortie, potentiellement sans effets secondaires (fonction pure) ou avec eux.