Diophantinebenaderingen

Diophantinebenaderingen, ook wel Diophantine approximations genoemd, is een gebied van de getaltheorie dat onderzoekt hoe nauwkeurig reële getallen kunnen worden benaderd door rationale getallen, en in bredere zin door algebraïsche getallen. Een centrale vraag is hoe klein de fout |α − p/q| kan zijn voor een gegeven rationeel getal p/q met q>0, en hoe vaak zulke benaderingen voorkomen.

Een paar fundamentele resultaten. De stelling van Dirichlet zegt dat voor elke reële α en elk positief geheel N er bestaan getallen p en q met 1 ≤ q ≤ N zodanig dat |α − p/q| ≤ 1/(qN). In het bijzonder bestaan oneindig veel goede benaderingen met |α − p/q| < 1/q^2. De stelling van Hurwitz verbetert dit voor irrationale α tot de constante 1/√5, zodat er oneindig veel p/q zijn met |α − p/q| < 1/(√5 q^2).

Liouville-getallen vormen nummers die extreem goed door rationals kunnen worden benaderd: voor elk n bestaan p/q met |α − p/q| < 1/q^n. Zulke getallen zijn noodzakelijkerwijs transcendentaal. Daartegenover stelt de stelling van Roth dat voor elk algebraïsch irrationeel getal α en elk ε>0 de vergelijking |α − p/q| < 1/q^{2+ε} slechts finit aantal oplossingen heeft, wat aantoont dat algebraïsche getallen niet veel beter dan exponent 2 kunnen worden benaderd.

Meer algemene resultaten, zoals de stelling van Khintchine en verschillende multidimensionale en dynamische generalisaties (bijv. Schmidt’s subruimte-stelling), bestuderen meetbare en meetonafhankelijke aspecten van Diophantinebenaderingen. De onderzoeksrichting bestrijkt zowel theoretische onderwerpen als toepassingen in cryptografie en dynamische systemen.