ARmodellen

AR-modellen, of autoregressieve modellen, vormen een klasse tijdreeksmodellen waarin de huidige waarde van een serie wordt verklaard door een lineaire combinatie van een aantal voorgaande waarden plus een toevallige ruis. Ze zijn populair omdat ze relatief eenvoudig zijn en korte afwijkingen van de afhankelijkheidsstructuur kunnen vastleggen.

In het meest eenvoudige geval wordt de waarde op tijdstip t gegeven door X_t = c + φ1 X_{t-1} + φ2 X_{t-2} + ... + φ_p X_{t-p} + ε_t, waarbij c een constante is, φ_i de autoregressieve parameters zijn en ε_t witte ruis vormt (gemiddelde nul, constante variantie). De orde p bepaalt hoe ver terug in de tijd de afhankelijkheden worden meegenomen. Een AR-model van orde p wordt aangeduid als AR(p). Een veelgebruikt bijzonder geval is AR(1): X_t = c + φ X_{t-1} + ε_t.

Betrouwbare toepassing vereist stationariteit, wat voor AR(p) inhoudt dat de wortels van het karakteristieke polynoom 1 − φ1 z − φ2 z^2 − ... − φ_p z^p buiten de eenheidscirkel liggen. Parameters worden vaak geschat met gewone kleinste kwadraten op de regressie van X_t op de voorgaande p waarden, of met Yule-Walker-methoden, maximum likelihood of andere geschikte technieken.

Modelselectie en diagnostiek spelen een belangrijke rol: de orde p kan worden gekozen via informatiecriteria zoals AIC of BIC en via het inspecteren van PACF-plots. Residuenanalyse en statistische tests zoals de Ljung-Box-test controleren of de resterende informatie wit is en of het model adequaat is.

AR-modellen dienen als bouwsteen voor complexere modellen zoals ARIMA (waar differencing wordt toegepast), ARMAX (met exogene variabelen) en seizoensgebonden varianten zoals SAR. Ze vinden toepassing in economie, financiën en signaalverwerking vanwege hun interpretabiliteit en rekenkundige eenvoud.