éénstapsmethode

Een éénstapsmethode is een numerieke methode voor initiële-waardeproblemen van gewone differentiaalvergelijkingen waarbij de volgende waarde van de onbekende functie op tijd t_{n+1} uitsluitend wordt bepaald op basis van de huidige waarde y_n (en eventueel de stapgrootte h = t_{n+1}-t_n). In veel formuleringen wordt y_{n+1} uitgedrukt als y_{n+1} = y_n + h Φ(t_n, y_n, h) voor een expliciete methode, terwijl impliciete varianten het bepalen van y_{n+1} oplossen via een vergelijking F(y_{n+1}, y_n, t_n, h) = 0.

Voorbeelden van éénstapsmethoden zijn de expliciete Euler methode en zijn verbeterde varianten (zoals Heun/verbeterde Euler) en de klassieke Runge-Kutta-methoden (bijv. RK4). Ook bestaan er impliciete éénstapsmethoden, zoals de terugeuler-methode, die vaak stabieler zijn bij stijfheidsproblemen. Het kenmerk is dat de berekening van y_{n+1} uitsluitend afhankelijk is van de huidige toestand y_n, in tegenstelling tot meerstapsmethoden die ook eerdere waarden y_{n-1}, y_{n-2}, enz. gebruiken.

Relatief ten opzichte van meerstapsmethoden bieden éénstapsmethoden doorgaans eenvoudiger adaptief stapgroottebeheer en vereisen weinig opslag, omdat ze geen lange historie bijhouden. De orde van een éénstapsmethode geeft aan hoe de lokale fout schaalt met de stapgrootte; bij veel klassieke methoden varieert deze orde van 1 (expliciete Euler) tot 4 (RK4). De stabiliteit hangt af van de specifieke methode: expliciete methoden hebben vaak beperkte stabiele regio en zijn minder geschikt voor stijfheidsproblemen, terwijl impliciete éénstapsmethoden vaak A-stabiel zijn en beter bestand tegen stiff gedrag.

Toepassingen omvatten het numeriek oplossen van initiële-waardeproblemen y' = f(t, y), met y(t0) = y0, in wiskundige modellering, natuur- eningenieurswetenschappen en computer-simulaties.