weegfunctie

Een weegfunctie is een niet-negatieve functie die wordt gebruikt om bijdragen in berekeningen of probabilistische modellen verschillend te laten wegen, afhankelijk van hun belang binnen het domein. Door een weegfunctie toe te passen krijgt een waarde op een bepaald punt meer of minder invloed op een resultaat zoals een som, integraal of schatting.

In de wiskunde wordt vaak gesproken over een gewichts- of weegfunctie w(x) op een interval I. Het gewogen product van twee functies f en g wordt dan gedefinieerd als ⟨f, g⟩_w = ∫_I f(x) g(x) w(x) dx, en er ontstaat een bijbehorende norm. Een positieve en goed geschikte weegfunctie levert stabiele integralen en een zinvol concept van orthogonaliteit op. In de theorie van orthogonale polynomen zijn klassieke voorbeelden: w(x) = 1 op [-1, 1] voor de Legendre-polynomen, w(x) = e^{-x^2} op R voor de Hermite-polynomen, en w(x) = x^α e^{-x} op [0, ∞) voor de Laguerre-polynomen.

In de numerieke analyse speelt de weegfunctie een cruciale rol bij numerieke integratie. Bij integralen van de vorm ∫_a^b f(x) w(x) dx leveren Gauss-type regels vaak nauwkeurige benaderingen met specifieke knooppunten en weegpunten die afhangen van w. Zo bepaalt de weegfunctie welke delen van het domein zwaarder wegen in de benadering.

In statistiek en data-analyse worden weegfuncties gebruikt voor gewogen gemiddelden, gewogen regressie en meta-analyses, waarbij sommige waarnemingen relevanter of betrouwbaarder zijn dan andere. Ze komen ook voor in machine learning en signaalverwerking, bijvoorbeeld bij exponentiële of andere tijdafhankelijke gewichten. Zie ook gewogen som, kernel-methoden en orthogonale polynomen.