Laguerrepolynomen

Laguerrepolynomen, oftewel Laguerre-polynomen, is de familie van orthogonale polynomen L_n^{(α)}(x) met een parameter α > -1. De eenvoudige Laguerre-polynomen worden geschreven als L_n(x) = L_n^{(0)}(x). Ze zijn polynomen in x met graad n en worden meestal bestudeerd op het halflijn [0, ∞) met het gewicht e^{-x} x^{α}.

Een veelgebruikte formulering is de Rodrigues-formule: L_n^{(α)}(x) = e^{x} x^{-α} (d^n/dx^n)(e^{-x} x^{n+α}). Een expliciete beschrijving is L_n^{(α)}(x) = sum_{k=0}^n (-1)^k binom(n+α, n-k) x^k / k!. De genererende functie is ∑_{n=0}^∞ L_n^{(α)}(x) t^n = (1 - t)^{-α-1} exp(- x t/(1 - t)).

Orthogonaliteit speelt een centrale rol: ∫_0^∞ e^{-x} x^{α} L_m^{(α)}(x) L_n^{(α)}(x) dx = Γ(n+α+1)/n! δ_{mn}, voor α > -1. Ze voldoen aan de differentiaalvergelijking x y'' + (α+1 - x) y' + n y = 0 en hebben recursieve relaties, bijvoorbeeld (n+1) L_{n+1}^{(α)}(x) = (2n+α+1 - x) L_n^{(α)}(x) - (n+α) L_{n-1}^{(α)}(x). Een andere eigenschap is d/dx L_n^{(α)}(x) = - L_{n-1}^{(α+1)}(x).

Toepassingen zijn onder meer Gauss-Laguerre-quadratuur voor integralen met gewicht e^{-x} op [0, ∞), en de aanwezigheid in oplossingen van de dimensionale Schrödingervergelijking voor isotrope systemen zoals de waterstofatoom en de radiale delen van frequentie- en potentiaalproblemen. Laguerrepolynomen dragen zo bij aan zowel numerieke methoden als theoretische fysica.

Historisch zijn ze genoemd naar Edmond Laguerre, een Franse wiskundige die deze polynomen in de 19e eeuw bestudeerde.