verzamelingenruimte

Verzamelingenruimte is een term uit de wiskunde die verwijst naar een ruimte waarvan de punten verzamelingen zijn in een vaste grondverzameling. In tegenstelling tot ruimten met getallen of vectoren als elementen bestaan de elementen in een verzamelingenruimte uit verzamelingen zelf. Het concept wordt gebruikt om de relaties en structuren tussen verzamelingen te bestuderen, vaak door extra aandacht te geven aan topologie, meetkunde of algebraïsche eigenschappen.

Een fundamenteel voorbeeld is de machtverzameling P(X) van een set X, de verzameling van alle subsets van X. P(X) kan gezien worden als een ruimte met een natuurlijke structuur: via kenmerkfuncties kan P(X} worden geïdentificeerd met het product {0,1}^X, waarbij elk subset A⊆X correspondeert met de functie χ_A. Deze voorstelling maakt duidelijk dat P(X) zowel combinatorisch als topologisch is.

In de topologie spreekt men soms van een verzamelingenruimte in de vorm van een hyperspace: de ruimte van alle gesloten subsets van een topologische ruimte X, vaak noteren als CL(X) of K(X). Deze verzamelingen worden voorzien van topologische structuren zoals de Vietoris-topologie. Bij metrische ruimtes kan men ook de Hausdorff-metriek gebruiken, waardoor KL(X) compacte spaces kan opleveren wanneer X compact is.

Daarnaast komen verzamelingenruimtes voor in de meetkunde en analyse, bijvoorbeeld als de ruimte van meetbare subsets modulo willekeurige gelijkheid. Een veelgebruikte metriek is d(A,B)=μ(A Δ B) op de verzameling van meetbare verzamelingen, met Δ de symmetrische verschil.

Samengevat biedt de verzamelingenruimte een raam om verzamelingen en hun onderlinge relaties te analyseren, met toepassingen in set-theorie, topologie en meetkunde. Relaties met onder meer machtverzamelingen, hyperspaces en meetbare verzamelingen komen regelmatig voor in de literatuur.