tijdintegratie

Tijdintegratie is het wiskundige proces waarbij een hoeveelheid die in de tijd verandert, wordt omgezet in een tijdverloop van die hoeveelheid door integratie over de tijd. In de wiskunde wordt de tijdsintegraal van een functie f(t) gedefinieerd als F(t) = ∫ f(τ) dτ plus een constante, waardoor F(t) de accumulatie van f tot tijd t beschrijft. In toepassingen wordt tijdintegratie vaak ingezet om van een snelheid of afgeleide van een toestand terug te keren naar de toestand zelf, bijvoorbeeld door x′(t) = f(x,t) te integreren met een initiële toestand x(t0) = x0.

Continu versus discrete tijd: in continue tijd wordt integratie over een continue tijdsniveau uitgevoerd, terwijl in discrete tijd de integraal wordt benaderd door een som: F[k] ≈ Σ_{n=0}^k f[n] Δt. Bij de oplossing van dynamische systemen wordt tijdintegratie veelal numeriek uitgevoerd met methoden zoals Euler, trapeziumregel of Runge-Kutta, waarbij stabiliteit en convergentie afhangen van stapgrootte en kenmerken van het systeem.

Toepassingen en interpretatie: in natuurkunde en engineering wordt tijdintegratie gebruikt om posities uit snelheden te berekenen, om kwantiteiten over de tijd op te tellen en om simulaties van dynamische systemen uit te voeren. In signaalverwerking fungeert tijdintegratie als een lage-pass-filter en levert het een gecumuleerde of afgevlakte versie van een signaal op. In stochastische processen vereist tijdintegratie speciale calculus, zoals Itô- of Stratonovich-integratie.

Samenvattend is tijdintegratie een fundamentele bewerking die het begrip van accumulatie over tijd mogelijk maakt en centraal staat in zowel analytische oplossingen als numerieke simulaties van tijdsafhankelijke systemen.