stapfuncties

Stapfuncties zijn wiskundige functies die op elk interval tussen aangrenzende sprongpunten constant zijn. Een veelvoorkomend voorbeeld is de Heaviside-stapfunctie H(x): H(x) = 0 voor x < 0 en H(x) = 1 voor x ≥ 0. Algemeen kan een stapfunctie worden geschreven als f(x) = c1 op het interval [a1, a2), c2 op [a2, a3), enzovoort, met een eindig of oneindig aantal sprongen. Een stapfunctie kan ook worden gezien als een indicatorfunctie 1_{x ∈ S} van een verzameling S, of als een combinatie daarvan.

Eigenschappen: stapfuncties hebben discontinuiteiten bij de sprongpunten. Ze zijn meestal rechte continu (of rechts continu, afhankelijk van de gebruikte definitie). De afgeleide bestaat buiten de sprongpunten uit nul; in de zin van distributies levert de afgeleide een som van impulsen op de sprongpunten. Het integreren van stapfuncties levert meestal functies op die stukgewijs constant of lineair variëren.

Varianten en notatie: versies zoals H(x − a) verschuiven de sprong naar het punt a. Schaal- en verschuivingsfactoren, bijvoorbeeld bH(bx + c), bepalen de breedte en locatie van de sprong. In toepassingen komen stapfuncties veel voor in signaalverwerking (rechthoekige pulsen), elektrotechniek en regeltheorie, maar ook bij de definitie van cumulatieve verdelingsfuncties en indicatorfuncties in integralen.

Relaties: stapfuncties zijn verwant aan piecewise-functies en vormen een basis voor het modelleren van abrupte veranderingen. Ze zijn ook gerelateerd aan de Dirac-delta in de theorie van distributies, waarin de afgeleide van een stapfunctie als een impulsfunctie wordt opgevat.