rectifieerbaar

Rectifieerbaar is een term uit de geometrie en maatleer die verwijst naar krommen en verzamelingen met een eindige maat, doorgaans lengte. In de wiskundige praktijk gaat het vooral om krommen en verzamelingen die op een zinvolle manier kunnen worden beschreven via lengte of via Lipschitz-afbeeldingen.

Een rectifieerbare kromme. Een kromme γ: [a,b] → R^n is rectifieerbaar als de lengte L(γ) = sup Σ ||γ(t_i) − γ(t_{i−1})|| over alle partitietabellen eindig is. Als γ absoluut continu is, geldt L(γ) = ∫_a^b ||γ′(t)|| dt. Een belangrijke eigenschap is dat elke rectifieerbare kromme kan worden geparametriseerd naar arclengte, zodat de voortbewegingsnelheid 1 is bijna overal.

Rectifieerbare verzamelingen. Een verzamelings E ⊂ R^n is m-rectifieerbaar als er tellbare verzamelingen van Lipschitz-afbeeldingen f_i: A_i ⊂ R^m → R^n bestaan met A_i compact, zodanig dat E ⊂ ⋃_i f_i(A_i) en de m-dimensionale Hausdorff-meting van E minus deze afbeelding(en) kleiner is dan of gelijk aan nul. In deze context is 𝓗^m de m-dimensionale Hausdorff-meting. Krachtig is dat dergelijke verzamelingen opgedeeld kunnen worden in afbeeldingen van stukjes R^m, plus een uitzonderingsset van maat nul.

Voorbeelden en niet-voorbeelden. Voorbeelden van rectifieerbare objecten zijn lijnstukken, cirkels en andere krommen met eindige lengte, evenals polyline-achtige vormen. Een klassieke niet-rectifieerbare kromme is de Koch-kromme, die een oneindige lengte heeft en daarom niet rectifieerbaar is.

Gebruik en betekenis. Rectificeerbare objecten vormen een kernbegrip in geometrische maatleer en analyse, waar lengtes, oppervlakten en integralen op minder regelmatige sets zinvol gedefinieerd kunnen worden.