arclengte

Arclengte is in de wiskunde de lengte van een gebogen pad tussen twee punten. Voor een curve die wordt gegeven door een parameterisering γ(t) in het vlak of de ruimte, van t = a tot t = b, bedraagt de arclengte S = ∫_a^b ||γ′(t)|| dt, waarbij ||γ′(t)|| de snelheid is van de curve.

In het vlak kan een curve ook als y = f(x) worden beschreven. Dan geldt de arclengte S = ∫_a^b sqrt(1 + (f′(x))^2) dx. Voor een ruimtelijke pad r(t) = (x(t), y(t), z(t)) is S = ∫_t0^t1 sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 + (dz/dt)^2) dt. Reparameterisatie van de curve verandert de arclengte niet (als de parameterendefinities in de juiste volgorde blijven). Een kurve kan met een arclengteparameterisatie worden geschreven zodat ||r′(s)|| = 1.

Snelle voorbeelden: een rechte lijn tussen twee punten heeft arclengte gelijk aan de Euclidische afstand tussen die punten. Voor een cirkel met straal R en centrale hoek θ is de arclengte s = Rθ (bij θ in radialen). Voor veel andere curves leidt het integreren van de snelheid tot een gesloten vorm of, vaker, tot een numerieke berekening.

Berekeningstechnieken en toepassingen: analytische integralen gelden voor eenvoudige curves; bij complexere paden worden numerieke methoden gebruikt, zoals trapregel, Simpson of adaptieve quadratuur. Arclengte speelt een centrale rol in de differentiaalmeetkunde als intrinsieke maat en in toepassingen zoals ontwerp, bewegingsplanning en computergraphics.