punktprozess

Der Begriff Punktprozess bezeichnet in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine zufällige Menge von Punkten, die in einem messbaren Raum auftreten, typischerweise im Raum R^d oder in R, wo Zeit als eine Dimension interpretiert wird. Ein Punktprozess lässt sich durch eine zufällige Zählmaßfunktion N definieren, wobei N(B) die Anzahl der Punkte in eine messbare Teilmenge B angibt. Die Verteilung des Prozesses wird durch die Familie der Verteilungen der Vektoren (N(B1), ..., N(Bk)) bestimmt. Wichtige Größen sind die Intensität Λ(B) = E[N(B)] und, für stationäre Prozesse, Λ(B) = λ m(B), wobei λ die mittlere Dichte und m das räumliche Maß ist. Ein Prozess heißt einfach, wenn N({x}) ≤ 1 für alle x; lokal endlich bedeutet, dass N(K) finit ist für alle kompakte K.

Der am häufigsten verwendete Spezialfall ist der Poisson-Punktprozess: Er besitzt unabhängige Zuwächse, und N(B) folgt Poisson-Verteilung mit Parameter Λ(B). Für einen homogenen Poissonprozess auf der Linie gilt N([t, t+Δt]) ~ Poisson(λ Δt) und die Abstände zwischen benachbarten Punkten sind exponentiell verteilt. Der Poissonprozess wird oft als Modell für 'vollständige Zufälligkeit' verwendet.

Zu den weiteren Typen zählen Cox-Prozesse (doubly stochastic Poisson), die zufällige Intensität modellieren, sowie Gibbs- und andere abhängige Punktprozesse. Eigenschaften wie Stationarität, Homogenität, Thinning und Superposition erleichtern die Modellierung.

Anwendungen finden sich in der räumlichen Statistik, Epidemiologie, Telekommunikation, Ökologie, Geologie und Physik, wo Orte oder Zeitpunkte zufälliger Ereignisse beschrieben werden müssen. Theoretisch lässt sich der Prozess über das Laplace-Funktional und die vollständigen Verteilungen der Punktmengen charakterisieren.