PoissonPunktprozess

Der Poissonpunktprozess (Poissonpunktprozess) ist ein stochastischer Prozess, der die zufällige Verteilung von Punkten in einem Raum modelliert. Er zeichnet sich durch vollständige Zufälligkeit aus: Die Anzahlen von Punkten in disjunkten Teilmengen sind unabhängig, und die Verteilungen dieser Anzahlen folgen Poisson-Verteilungen mit einem jeweiligen Intensitätsmaß Λ. Das Intensitätsmaß gibt an, wie viele Punkte pro Gebietseinheit erwartet werden.

In der eindimensionalen Zeit oder im Raum R^d kann man den Prozess als homogeneous Poissonpunktprozess bezeichnen, wenn Λ(A) = λ |A| gilt, wobei λ > 0 die Intensität ist und |A| das Volumen von A bezeichnet. Für jeden abzählbaren Abschnitt oder jede Region A gilt N(A) ~ Poisson(Λ(A)). In der zeitlichen Version, dem Poissonprozess N(t) auf R+, zählt N(t) Ereignisse bis zur Zeit t, und N(t) hat die Verteilung Poisson(λ t). Die Interarrivzeiten sind exponentiell mit Parameter λ.

Nicht-homogene Varianten verwenden eine zeit- oder ortsabhängige Intensität λ(x) bzw. eine Änderungsrate λ(t). Dann gilt N(A) ~ Poisson(∫A λ(x) dx) und N(t)−N(s) ~ Poisson(∫s^t λ(u) du). Damit liefert der Poissonpunktprozess eine flexible, analytisch handhabbare Modellierung für räumliche oder zeitliche Punktmuster, die sich durch Unabhängigkeit, Skalierbarkeit und einfache Verteilungseigenschaften auszeichnen.

Anwendungsgebiete umfassen räumliche Statistik, Warteschlangentheorie, Telekommunikation und Stochastische Geometrie, wo zufällige Punktmuster beobachtet oder modelliert werden müssen.